Mi a 89 négyzetgyök?

Válasz:

A négyzetgyökere #89# egy szám, amelyet négyzet ad #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Magyarázat:

Mivel #89# elsődleges, #sqrt (89) # nem egyszerűsíthető.

Ezt Newton Raphson módszerrel közelítheti meg.

Szeretnék egy kicsit újraszövegezni:

enged #n = 89 # legyen az a szám, amelyre a négyzetgyöket szeretné.

Választ # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # így # P_0 / q_0 # egy ésszerű racionális közelítés. Azóta ezeket az értékeket választottam #89# körülbelül félúton van #9^2 = 81# és #10^2 = 100#.

Iterát a következő képletekkel:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Ez jobb racionális közelítést ad.

Így:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Tehát, ha itt megálltunk, közelebb kerülnénk:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Menjünk még egy lépést:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Tehát közelítést kapunk:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Ez a Newton Raphson módszer gyorsan konvergál.

#fehér szín)()#

Valójában egy elég jó egyszerű megközelítés #sqrt (89) # jelentése #500/53#, azóta #500^2 = 250000# és #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Ha egy iterációs lépést alkalmazunk ehhez, jobb közelítést kapunk:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#fehér szín)()#

Lábjegyzet

A pozitív egész számok négyszögletes gyökerei megismétlődnek a töredezettséggel, amit racionális közelítésekhez is használhat.

Azonban a #sqrt (89) # a folytonos frakcióterjesztés egy kicsit rendetlen, így nem annyira jó dolgozni:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

A közelítés #500/53# a fenti #9; 2, 3, 3, 2#