Hogyan találja meg az y = x ^ 2 - 1 és y = 0 körök körüli régió térfogatát az x = 5 vonal körül?

Válasz:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Magyarázat:

Ennek a térfogatnak a kiszámításához bizonyos értelemben (végtelenül vékony) szeletekre vágjuk.

Képzeljük el a régiót, hogy segítsünk nekünk ezzel, csatoltam a grafikont, ahol a régió a görbe alatti része. Megjegyezzük ezt # Y = x ^ 2-1 # átlépi a vonalat # X = 5 # hol # Y = 24 # és hogy átlépi a vonalat # Y = 0 # hol # X = 1 # grafikon {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Ha ezt a területet vízszintes szeletekkel vágja le, magas # # Dy (nagyon kis magasság). Ezen szeletek hossza nagymértékben függ az y koordinátától. ennek a hossznak a kiszámításához meg kell ismernünk a távolságot egy ponttól # (Y, x) # a vonalon # Y = x ^ 2-1 # az (5, y) pontig. Természetesen ez az # 5-X #, de szeretnénk tudni, hogy ez hogyan függ # Y #. Mivel # Y = x ^ 2-1 #, tudjuk # X ^ 2 = y + 1 #, mióta van #X> 0 # a régió számára érdekel, # X = sqrt (y + 1) #, ezért ez a távolság függ # Y #, amit mi jelezni fogunk #r (y) # által adva #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Most elforgatjuk ezt a régiót # X = 5 #Ez azt jelenti, hogy minden szelet magasságú hengerré válik # # Dy és sugár #r (y) #, tehát egy kötet #pir (y) ^ 2dy #. Most mindössze annyit kell tennünk, hogy integrálja ezeket a végtelenül kis mennyiségeket. Megjegyezzük ezt # Y # megy #0# nak nek #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5 sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.