Egy egyenlőszárú háromszög két sarka (1, 6) és (2, 9). Ha a háromszög területe 36, akkor milyenek a háromszög oldalai?

Válasz:

#sqrt (10), sqrt (520,9), sqrt (520,9) ~ = 3.162,22.823,22.823 #

Magyarázat:

Az adott oldal hossza

# S = sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-6) ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt (10) ~ = 3.162 #

A háromszög területének képletéből:

# S = (b * h) / 2 # => # 36 = (sqrt (10) * h) / 2 # => # H = 72 / sqrt (10) ~ = 22,768 #

Mivel az ábrán egy egyenlőszárú háromszög lehet 1. eset, ahol az alap az egyedülálló oldal, az alábbi (a) ábrán látható

Vagy tudnánk 2. eset, ahol az alap az egyik egyenlő oldal, az 1. és 2. ábrán látható. (b) és (c)

Erre a problémára az 1. eset mindig érvényes, mert:

#tan (alfa / 2) = (a / 2) / h # => # H = (1/2) a / tg (alfa / 2) #

De van egy feltétel, hogy a 2. eset a következő:

#sin (béta) = h / b # => # h = bsin béta #

Vagy # h = bsin gamma #

Mivel a legmagasabb értéke #sin beta # vagy #sin gamma # jelentése #1#, a legmagasabb értéke # H #, a 2. ügyben # B #.

A jelen problémában h hosszabb, mint a merőleges oldal, ezért e probléma esetében csak az 1. eset vonatkozik.

Megoldás figyelembe véve 1. eset (A. Ábra)

# B ^ 2 = H ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# B ^ 2 = (72 / sqrt (10)) ^ 2+ (sqrt (10) / 2) ^ 2 #

# B ^ 2 = 5184/10 + 10/4 = (5184 + 25) / 10 = 5209/10 # => # B = sqrt (520,9) ~ = 22,823 #