Legyen f: R-től R-ig terjedő emelkedés. keresse meg az f (x) = f ^ -1 (x) megoldását?

Válasz:

# f (x) = x #

Magyarázat:

Egy funkciót keresünk #f: RR rarr RR # ilyen megoldás #f (x) = f ^ (- 1) (X) #

Ez azt a funkciót keresik, amely saját inverz. Egy nyilvánvaló ilyen funkció a triviális megoldás:

# f (x) = x #

A probléma alaposabb elemzése azonban igen bonyolult, amint azt Ng Wee Leng és Ho Foo Him is tanulmányozta, amint azt a Matematika Tanárok Szövetsége folyóiratában tették közzé.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Válasz:

Ellenőrizze az alábbiakat.

Magyarázat:

A pontok közösek # # C_f és #C_ (f ^ (- 1)) # ha léteznek, nem mindig a bisectorban vannak # Y = x #. Itt van egy példa egy ilyen funkcióra: #f (x) = 1-x ^ 2 # #COLOR (fehér) (a) #, #x##ban ben## 0, + oo) #

grafikon {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7,02, 7,03, -5,026, 1,994}

Ezek azonban csak a bisszektorban vannak, és csak akkor, ha # F # jelentése # # növekvő.

Ha # F # akkor szigorúan növekszik #f (x) = f ^ (- 1) (X) # #<=># #f (X) = X #

Ha # F # nem szigorúan növeli a közös pontokat az egyenletek rendszerének megoldásával

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Válasz:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> X = 1 #

Magyarázat:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #COLOR (fehér) (aa) #, #x##ban ben## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #COLOR (fehér) (aa) #, # AA ##x##ban ben## RR #

így # F # jelentése # # ban ben # RR #. Szigorúan monoton függvényként is "#1-1#"és egy-egy függvényként fordított.

Meg kell oldanunk az egyenletet #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (F) f (x) = X # #<=>#

# X ^ 3 + X-1 = X # #<=># # X ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (X-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (X ^ 2 + x + 1> 0) #

# X = 1 #