Mi a határérték, amikor x közelít a végtelenhez (1 + a / x) ^ (bx)?

Logaritmus és l'Hopital szabálya alkalmazásával

#lim_ {x infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

A helyettesítés használatával # T = A / X # vagy egyenértékű # X = a / t #, # (1 + A / X) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Logaritmikus tulajdonságok használatával

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {ab} / t}} e ^ {ab} / tn (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

L'Hopital szabálya szerint

#lim_ {t - 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t és 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Ennélfogva, #lim_ {x infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t a 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Jegyzet: #t - 0 # mint #x az infty #)