Mi a lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)), mivel x megközelíti az 1-et a jobb oldalról?

# 1 / e #

# X ^ (1 / (1-x)) #:

grafikon {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Nos, ez sokkal könnyebb lenne, ha egyszerűen elvennénk # Ln # mindkét oldalról. Mivel # X ^ (1 / (1-x)) # a folyamatos a nyílt intervallumban a jobb oldalon #1#, azt mondhatjuk, hogy:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Mivel #ln (1) = 0 # és #(1 - 1) = 0#, ez a forma #0/0# és L'Hopital szabálya érvényes:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

És természetesen, # 1 / x # folyamatos minden oldalról #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Ennek eredményeként az eredeti limit:

#color (kék) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = szín (kék) (1 / e) #