A gömb alakú ballon sugara 2 cm / perc sebességgel növekszik. Milyen gyorsan változik a térfogat, ha a sugár 14 centiméter?

Válasz:

# 1568 # * pi cc / perc

Magyarázat:

Ha a sugár r, akkor az r változásának sebessége az t idő függvényében, # d / dt (r) = 2 # cm / perc

A gömb alakú tárgy r sugarának függvénye

#V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

Meg kell találnunk # D / dt (V) # r = 14 cm

Most, # d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (R) #

De # D / dt (r) # = 2 cm / perc. És így, # D / dt (V) # r = 14 cm:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # köbméter / perc # = 1568 * pi # cc / perc

A háromszög magassága 1,5 cm / perc sebességgel növekszik, míg a háromszög területe 5 négyzetméter / perc sebességgel növekszik. Milyen sebességgel változik a háromszög alapja, amikor a magasság 9 cm, és a terület 81 négyzetméter?

Ez egy összefüggő (változás) típusú probléma. Az érdeklődő változók: a = magasság A = terület, és mivel egy háromszög területe A = 1 / 2ba, b = bázisra van szükségünk. A megadott változások percenkénti egységben vannak, így a (láthatatlan) független változó t = idő percben. Adunk: (da) / dt = 3/2 cm / perc (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min És megkérdezzük, hogy (db) / dt, ha a = 9 cm és A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, megkülönböztetv

A padlóra szivárgó víz kör alakú medencét képez. A medence sugara 4 cm / perc sebességgel növekszik. Milyen gyorsan növekszik a medence területe, ha a sugár 5 cm?

40pi "cm" ^ 2 "/ min" Először egy olyan egyenletből kell indulnunk, amit tudunk egy kör, a medence és annak sugara területéről: A = pir ^ 2 Ugyanakkor azt szeretnénk látni, hogy mennyire gyors a terület a medence egyre növekszik, ami nagyon hasonlóan hangzik ... ami nagyon hasonlít egy származékra. Ha az A = pir ^ 2 származékát az idő függvényében vesszük, akkor t látjuk, hogy: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Ne felejtsük el, hogy a láncszabály a jobb oldalon érvényes ké

Egy motorkerékpáros utazik 15 percig 120 km / h sebességgel, 1 óra 30 perc 90 km / h sebességgel és 15 perc 60 km / h sebességgel. Milyen sebességgel kell utaznia ahhoz, hogy ugyanazt az utazást végezze, ugyanabban az időben, a sebesség megváltoztatása nélkül?

90 "km / h" A motorkerékpáros utazásának teljes ideje 0,25 "h" (15 "min") + 1,5 "h" (1 "h" 30 "perc") + 0,25 "h" (15 "perc") ) = 2 "óra" A teljes megtett távolság 0,25 x 120 + 1,5 × 90 + 0,25 × 60 = 180 "km" Ezért a sebessége: 180/2 = 90 "km / h". van értelme!