Hogyan bizonyítja, hogy a sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Válasz:

Csináljunk valamilyen konjugált szorzást, használjunk a trig-identitásokat, és egyszerűsítsük. Lásd lentebb.

Magyarázat:

Emlékezzünk a Pythagorean Identityre # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Oszd meg mindkét oldalt # Cos ^ 2x #:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

Ezt a fontos identitást kihasználjuk.

Fókuszáljunk erre a kifejezésre:

# Secx + 1 #

Ne feledje, hogy ez egyenértékű # (Secx + 1) / 1 #. Szorozzuk meg a felső és az alsó szintet # Secx-1 # (ezt a technikát konjugált szorzásnak nevezik):

# (Secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (mp ^ 2x-1) / (secx-1) #

Tól től # Tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, ezt látjuk # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Ezért helyettesíthetjük a számlálót # Tan ^ 2x #:

# (Tan ^ 2x) / (secx-1) #

Problémánk most a következő:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Közös nevezőnk van, így hozzáadhatjuk a bal oldali frakciókat:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Az érintők megszakadnak:

# (Megszünteti (tan ^ 2x) + 1-megszünteti (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Hagyja minket:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Mivel # Secx = 1 / cosx #, ezt átírhatjuk:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

A frakciók hozzáadása a nevezőben:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Az ingatlan használata # 1 / (a / b) = b / a #, nekünk van:

# Cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

És ez kiegészíti a bizonyítékot.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((Secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (Szek ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = Cosx / cosx * ((szek ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#COLOR (piros) ("üzembe", szek ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = Cosx / (cosxsecx-cosx) #

#COLOR (piros) ("üzembe", cosxsecx = 1) #

# = Cosx / (1-cosx) = RHS #