Milyen példák vannak a konvergens sorozatra?

Válasz:

Íme három fontos példa …

Magyarázat:

Geometriai sorozat

Ha #abs (r) <1 # majd a geometriai sorozat összege #a_n = r ^ n a_0 # konvergens:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Exponenciális függvény

A sorozat meghatározása # E ^ x # konvergens bármilyen érték esetén #x#:

# e ^ x = összeg_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Ezt bizonyítani kell bármely adott számára #x#, hagyd # N # legyen nagyobb, mint #abs (X) #. Azután #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # konvergens, mivel véges összeg és #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konvergál, mivel az egymást követő kifejezések arányának abszolút értéke kisebb, mint #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Bázeli probléma

A bázeli probléma, amelyet 1644-ben jelent meg, és amelyet Euler 1734-ben oldott meg, a pozitív egész számok négyzeteinek reciprokjai összegének értékét kéri:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #