U_1, u_2, u_3, ... a Geometriai progresszióban (GP) vannak. A sorozatban a kifejezések általános aránya K.Now határozza meg az u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) K és u_1 formában?

Válasz:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Magyarázat:

A geometriai haladás általános fogalma írható:

#a_k = a r ^ (k-1) #

hol # A # a kezdeti kifejezés és # R # a közös arány.

Az összeg # N # a kifejezést a következő képlet adja meg:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#fehér szín)()#

A kérdésben megadott információkkal az általános képlet # # U_k írható:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Vegye figyelembe, hogy:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Így:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = összeg_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (fehér) (összeg_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = összeg_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (fehér) (összeg_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = összeg_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # hol # A = u_1 ^ 2K # és #r = K ^ 2 #

#color (fehér) (összeg_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (fehér) (összeg_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #