Mik az f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) globális és helyi extrémája?

Válasz:

#f (X) # abszolút minimális értéke: #(-1. 0)#

#f (X) # helyi maximumon van # (- 3, 4e ^ -3) #

Magyarázat:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Termékszabály

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Abszolút vagy helyi extrém esetén: #f '(x) = 0 #

Ez az, ahol: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Mivel # e ^ x> 0 az x-re ugrás az RR-ben

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 vagy -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Termékszabály

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Azóta is # E ^ x> 0 # csak tesztelni kell a jelet # (X ^ 2 + 6x + 7) #

a szélsőséges pontjainkban annak meghatározására, hogy a pont egy maximum vagy minimum.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # minimális

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # egy maximum

Tekintettel a grafikonra #f (X) # az alábbiakban egyértelmű, hogy #f (-3) # egy helyi maximum és #f (-1) # abszolút minimum.

grafikon {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5,788, 2,005, -0,658, 3,24}

Végül a szélsőséges pontok értékelése:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

és

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0,995