Két szám különbözik a 3-tól. A reciprokok összege hét tized. Hogyan találja meg a számokat?

Válasz:

Két probléma megoldása van:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Magyarázat:

Ez egy tipikus probléma, amely két egyenlet két rendszerével, két ismeretlen változóval megoldható.

Legyen az első ismeretlen változó #x# és a második # Y #.

A különbség közöttük #3#, ami az egyenletet eredményezi:

(1) # X-Y = 3 #

A kölcsönösségük # 1 / x # és # 1 / y #, amelynek összege #7/10#, ami az egyenletet eredményezi:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Egyébként a kölcsönösség megléte szükségessé teszi a korlátozásokat:

#x! = 0 # és #Y! = 0 #.

A rendszer megoldásához használja a helyettesítési módszert.

Az első egyenletből kifejezhetjük #x# szempontjából # Y # és helyettesítsük a második egyenletbe.

Az (1) egyenletből származhat:

(3) #x = y + 3 #

Helyettesítse azt a (2) egyenletre:

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Ez egyébként más korlátozást igényel:

# Y + 3! = 0 #, vagyis #Y! = - 3 #.

Közös nevező használata # 10Y (y + 3) # és csak a számlálókat tekintve a (4) egyenletet a következőképpen alakítjuk át:

# 10Y + 10 (y + 3) = 7Y (y + 3) #

Ez egy kvadratikus egyenlet, amelyet át lehet írni:

# 20y + 30 = 7Y ^ 2 + 21y # vagy

# 7Y ^ 2 + y-30 = 0 #

Az egyenlet két megoldása:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

vagy

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Tehát két megoldásunk van # Y #:

# Y_1 = 2 # és # Y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Ennek megfelelően használja # X = y + 3 #, arra a következtetésre jutottunk, hogy két megoldás van a rendszerre:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Mindkét esetben #x# nagyobb, mint # Y # által #3#, így a probléma első feltétele teljesül.

Nézzük meg a második feltételt:

(a) megoldás # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - ellenőrzött

(b) megoldás # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - ellenőrzött

Mindkét megoldás helyes.