Az exponenciális osztály funkcionális folytonos frakcióját (FCF) a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)) határozza meg.) , a> 0. Az a = e = 2,718281828 .. beállításakor hogyan bizonyítható, hogy e_ (cf) (0,1; 1) = 1,880789470, majdnem?

Válasz:

Lásd a magyarázatot …

enged #t = a_ (cf) (x; b) #

Azután:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Más szavakkal, # T # a leképezés rögzített pontja:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Ne feledje, hogy önmagában # T # egy fix pontja #F (t) # nem elég bizonyítani #t = a_ (cf) (x; b) #. Lehetnek instabil és stabil rögzített pontok.

Például, #2016^(1/2016)# egy fix pont #x -> x ^ x #, de nem a megoldás # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Nincs megoldás).

Nézzük azonban meg #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1,0 # és #t = 1.880789470 #

Azután:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~~ e ^ (0,1 +,5316916199) #

# = E ^,6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~ ~ t #

Tehát ez az érték # T # nagyon közel áll egy rögzített ponthoz #F_ (a, b, X) #

Ahhoz, hogy bizonyítsuk, hogy stabil, tekintse meg a származékot közel # T #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Szóval:

#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2e (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~ ~ -0.5316916199 #

Mivel ez negatív és abszolút értéke kisebb, mint #1#, a rögzített pont # T # stabil.

Szintén vegye figyelembe, hogy bármely nem nulla valós érték esetén # S # nekünk van:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

Ez az #F_ (e, 1,0.1) (s) # szigorúan monoton csökken.

Ennélfogva # T # az egyedülálló stabil rögzített pont.

Szerződéses magatartás.

Val vel #a = e # és #x = x_0 # az iteráció következik

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # és még

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Vizsgáljuk meg az iterációs operátor összehúzódásának feltételeit.

Mindkét oldal elvonása

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

de az első közelítésben

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

vagy

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} kb-b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Ahhoz, hogy összehúzódjon, szükségünk van rá

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Ez akkor érhető el, ha

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Feltételezve #b> 0 # és #k = 1 # nekünk van.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Szóval adott # # X_0 és # B # ez a kapcsolat lehetővé teszi számunkra, hogy a kezdeti iterációt a szerződéses magatartás alapján találjuk meg.