Melyek az f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x helyi szélsőségei?

Válasz:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # van egy helyi minimum # X = 1 # és egy helyi maximumot # X = 3 #

Magyarázat:

Nekünk van:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

a funkció mindegyikben definiálva van # RR # mint # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

A kritikus pontokat azonosíthatjuk azáltal, hogy megállapítjuk, hogy az első derivatív nulla:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

így a kritikus pontok a következők:

# x_1 = 1 # és # x_2 = 3 #

Mivel a nevező mindig pozitív, az #f '(x) # a számláló jelének ellenkezője # (X ^ 2-4x + 3) #

Most már tudjuk, hogy a második sorrendű polinom pozitív vezető koefficienssel a gyökerek közötti és a gyökerek közötti intervallumban negatív tartományon kívül pozitív, így:

#f '(x) <0 # mert #x a (-oo, 1) # és #x -ban (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # mert #x in (1,3) #

Akkor így van #f (X) # csökken # (- oo, 1) #, növekszik #(1,3)#, és ismét csökken # (3, + oo) #, úgyhogy # x_1 = 1 # helyi minimumnak kell lennie # X_2 = 3 # helyi maximumnak kell lennie.

grafikon {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}