Melyek az f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 + 10 extrémája az [-1,3] intervallumban?

Válasz:

Minimumunk van # X = 0 # és egy csúcspontot # X = 3 #

Magyarázat:

A maxima egy magas pont, amelyhez egy függvény emelkedik, majd ismét elesik. Mint ilyen, a tangens meredeksége vagy a derivált értéke nulla.

Továbbá, mivel a maximumoktól balra lévő érintők felfelé lejtenek, majd lecsapódnak, majd lefelé lejtenek, a tangens lejtése folyamatosan csökken, azaz a második származék értéke negatív.

A minimumok viszont egy alacsony pont, amelyre egy függvény esik, majd ismét emelkedik. Mint ilyen, a tangens vagy a származtatott érték minimálisan is nulla lesz.

De mivel a minimumok bal oldalán lévő érintők lefelé lesznek lejtve, akkor a lapítás, majd a felfelé lejtés, az érintő lejtése folyamatosan növekszik, vagy a második származék értéke pozitív lesz.

Ha a második derivatív nulla, akkor van egy pontunk

Ezek a maximumok és minimumok azonban lehetnek univerzálisak, vagyis a teljes tartományra vonatkozó maximálisak vagy minimumok, vagy lokalizáltak lehetnek, vagyis korlátozott tartományban a maximumok vagy minimumok.

Lássuk ezt a kérdésben leírt funkcióra való hivatkozással, és először is megkülönböztessük #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Az első származékát a #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Ez nulla lenne # X ^ 2-9 = 0 # vagy #X = + - 3 # vagy #0#. Ezek közül csak #{0,3}# a tartományon belül vannak #-1,3}#.

Ennélfogva a maximumok vagy minimumok pontokon fordulnak elő # X = 0 # és # X = 3 #.

Annak megállapításához, hogy ez maxima vagy minimum, nézzük meg a második különbséget #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # és így még

nál nél # X = 0 #, #f '' (x) = 486 # és pozitív

nál nél # X = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # és egy inflexiós pont.

Ezért van egy helyi minimumunk # X = 0 # és egy csúcspontot # X = 3 #

. grafikon {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Válasz:

Az abszolút minimum #(-9)^3+10# (ami az #0#), az intervallum abszolút maximális értéke #10#, (ami az #3#)

Magyarázat:

A kérdés nem határozza meg, hogy relatív vagy abszolút extrémeket kell-e találni, így mindkettőt megtaláljuk.

A relatív extrém csak kritikus számokban fordulhat elő. A kritikus számok az #x# amelyek a (z) # F # és amelyen #f '(x) = 0 # vagy #f '(x) nem létezik. (Fermat elmélete)

A zárt intervallumban az abszolút szélsőséges értékek az intervallum vagy az intervallum pontjainál kritikus számokban fordulhatnak elő.

Mivel az itt feltett függvény folyamatos #-1,3#, az Extreme Value Theorem ezt biztosítja # F # abszolút minimális és abszolút maximális értékkel kell rendelkeznie az intervallumon.

Kritikus számok és relatív extrém.

mert #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, találunk #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Tisztán, # F '# soha nem létezik, így nincs ilyen kritikus szám.

megoldása # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # megoldásokat ad #-3#, #0#, és #3#.

#-3# nincs a probléma tartományában #-1,3# ezért csak ellenőrizni kell #f (0) # és #f (3) #

mert #x <0 #, nekünk van #f '(x) <0 # és

mert #x> 0 #, nekünk van #f '(x)> 0 #.

Tehát az első származtatott teszt, #f (0) # relatív minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Az intervallum másik kritikus száma #3#. Ha figyelmen kívül hagyjuk a tartomány korlátozását, azt találjuk #f '(x)> 0 # mindenkinek #x# közel #3#. Tehát a funkció a kis, nyitott intervallumokkal növekszik #3#. Ezért, ha megállunk nál nél #3# a legmagasabb pontot érjük el a tartományban.

Van nem egyetemes egyetértés, hogy ezt mondják #f (3) = 10 # ez a függvény relatív maximális értéke #-1,3#.

Néhány értéket igényel mindkét oldalon kevésbé, másokban a tartomány bármelyik oldalán lévő értékek kisebbek.

Abszolút extrém

Az abszolút szélsőséges helyzet zárt intervallumban # A, b # sokkal egyszerűbb.

Kritikus számok keresése zárt intervallumban. Hívja a # c_1, c_2 # stb.

Számítsa ki az értékeket #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # stb. A legnagyobb érték az abszolút maixmum az intervallumon, és a legkisebb érték az abszolút minimum az intervallumon.

Ebben a kérdésben kiszámítjuk #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # és #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

A minimum #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # és

a maximális érték #f (-3) = 10 #.