Válasz:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Magyarázat:
Hogy ez a probléma legyen értelme # 4-9x ^ 2> = 0 #, így # -2/3 <= x <= 2/3-#. Ezért választhatunk egy # 0 <= u <= pi # oly módon, hogy # X = 2 / 3cosu #. Ezzel az x változót az integrálban használhatjuk # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # itt használjuk # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # és ez # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Most az integráció segítségével találunk részeket # Intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Ebből adódóan # Intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Így találtunk #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, most helyettesítjük #x# vissza # U #, használd # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, így #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Ezt tovább egyszerűsíthetjük a szinuszok és a kosinusok meghatározásával a háromszögek tekintetében. Jobb szögű háromszög esetén # U # az egyik nem jobb sarokban, # sinu = "ellentétes oldal" / "leghosszabb oldal" #, míg # cosu = "szomszédos oldal" / "leghosszabb oldal" #, mivel tudjuk # COSU = (3x) / 2 #, kiválaszthatjuk a szomszédos oldalt # # 3x és a leghosszabb oldal #2#. Pythagoras-tétel segítségével a másik oldalon találjuk #sqrt (4-9x ^ 2) #, így #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = Sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Ebből adódóan #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
