Melyek az f (x) = x ^ 2 + 9x +1 helyi szélsőségei?

Válasz:

A Parabolae pontosan egy szélsőséges, a csúcs.

Ez #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Mivel # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # mindenhol a funkció mindenhol homorú, és ezt a pontot minimumnak kell lennie.

Magyarázat:

Két gyökere van a parabola csúcsának megtalálásához: az egyik, a számítás segítségével találja meg, hogy a származék nulla; kettő, kerülje a számítást minden áron, és csak töltse ki a négyzetet. A gyakorlathoz kalkulust fogunk használni.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, meg kell hoznunk ennek derivatívát.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

A származtatott származék linearitása alapján

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

A hatalmi szabály használata # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # nekünk van

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Ezt a nullát állítjuk be a kritikus pontok megtalálásához, a helyi és globális minimumok és maximumok, és néha az inflexiós pontok nullai származékai.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

így van egy kritikus pontunk # X = -9/2 # vagy #-4 1/2#.

A kritikus pont y koordinátájának megkereséséhez # X = -9/2 # vissza a funkcióba

#f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

A kritikus pont / csúcspont #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Ezt tudjuk, mert #A> 0 #, ez egy maximum.

Ahhoz, hogy hivatalosan megállapítsuk, hogy ez egy maximum vagy minimum, meg kell tennünk a második derivált tesztet.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

A második származék 2 az összes x értéknél. Ez azt jelenti, hogy mindenhol nagyobb a nulla, és a funkció mindenhol homorú (ez egy parabola #A> 0 # végül is), így a szélsőségnek minimumnak kell lennie, a csúcsnak.