Bizonyíték arra, hogy N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) egész szám?

Válasz:

Fontolgat # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Ennek van egy valódi gyökere, ami #6# más néven. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Magyarázat:

Fontolja meg az egyenletet:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Cardano módszere segítségével megoldja azt #t = u + v #

Azután:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

A kifejezés törlése a következő helyen: # (U + v) #, adja hozzá a kényszert # UV = 7 #

Azután:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Szorozzuk át # U ^ 3 # és rendezze át a négyzetes értéket # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

a négyzetes képlet szerint ez gyökerei vannak:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (fehér) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (fehér) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (fehér) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Mivel ez valóságos, és a származás szimmetrikus volt # U # és # V #, ezek közül a gyökerek egyikét használhatjuk # U ^ 3 # és a másik a # V ^ 3 # arra a következtetésre jut, hogy a. t # T ^ 3-21t-90 # jelentése:

# t_1 = gyökér (3) (45 + 29sqrt (2)) + gyökér (3) (45-29sqrt (2)) #

de találjuk:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Tehát a Valódi nulla # T ^ 3-21t-90 # jelentése #6#

Így # 6 = gyökér (3) (45 + 29sqrt (2)) + gyökér (3) (45-29sqrt (2)) #

#fehér szín)()#

Lábjegyzet

A kubikus egyenlet megtalálásához Cardano módszerét használtam hátra.

Válasz:

# N = 6 #

Magyarázat:

így #x = 45 + 29 sqrt (2) # és #y = 45-29 sqrt (2) # azután

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

így

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

vagy hívás #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # nekünk van

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

val vel # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # és #z = 6 # ez egy gyökér

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #