A számológép megoldási funkciójának használata nélkül hogyan lehet megoldani az egyenletet: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Válasz:

A nullák # X = 5 #, # X = -2 #, # X = 1 + -sqrt (2) i #

Magyarázat:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Azt mondtuk, hogy # (X-5) # tényező, ezért szétválaszthatja:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Azt mondtuk, hogy # (X + 2) # tényező is, ezért szétválasztja azt:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

A fennmaradó kvadratikus tényező megkülönböztetője negatív, de a komplex gyökerek megtalálásához továbbra is használhatjuk a négyzetes képletet:

# X ^ 2-2x + 3 # a formában van # Ax ^ 2 + bx + c # val vel # A = 1 #, # B = -2 # és # C = 3 #.

A gyökereket a négyzetes képlet adja meg:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Próbáljuk meg anélkül, hogy tudnánk # (X-5) # és # (X + 2) # tényezők.

Az állandó kifejezés megegyezik a gyökértermékkel

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Ez az együttható egész szám, amelynek tényezői #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Megpróbáljuk ezeket az értékeket látni

#p (-2) = p (5) = 0 # két gyökér megszerzése.

A polinomot képviselhetjük

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

A jobb oldal kiszámítása és mindkét oldal összehasonlítása

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Megoldás # (A, b) # kapunk # A = -2, b = 3 #

A gyökereinek értékelése # X ^ 2-2x + 3 = 0 # kapunk # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #