Az M és L hosszúságú három rudat összekötjük, hogy egyenlő oldalú háromszöget képezzenek. Mi az a tehetetlenségi pillanat, amikor egy rendszer a tengelyén áthalad a tömegközéppontján és merőleges a háromszög síkjára?

Válasz:

# 1/2 ML ^ 2 #

Magyarázat:

Az egyetlen rúd tehetetlenségi nyomatéka a tengelyén, amely áthalad a közepén, és merőlegesen van

# 1/12 ML ^ 2 #

Az egyenlő oldalú háromszög mindkét oldalának a háromszög közepén áthaladó és a síkra merőleges tengely körül

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(a párhuzamos tengely tétel alapján).

Ekkor az a háromszög tehetetlenségi nyomatéka, amely ezen a tengelyen van

# 3-szor 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Feltéve, hogy a rudak vékonyak, az egyes rudak tömegközéppontja a rúd közepén van. Mivel a rudak egyenlő oldalú háromszöget alkotnak, a rendszer tömegének középpontja a háromszög középpontjában lesz.

enged # D # a centroid távolsága bármelyik oldalról.

# D / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = L / (2sqrt3) # …..(1)

Egyetlen rúd tehetetlenségi pillanata egy olyan tengely mentén, amely a centroidon áthalad, merőleges a háromszög síkjára, párhuzamos tengellyel.

#I_ "rúd" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Három hasonlóan elhelyezett rúd van, ezért a három rúd teljes tehetetlenségi nyomatéka lenne

#I_ "rendszer" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "rendszer" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

A második kifejezés az (1) használatával

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Mivel az egyik rúd tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontja körül van

#I_ "cm" = 1 / 12ml ^ 2 #

Az első kifejezés a (2) -ben lesz

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ml ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

A (3) és (4) pontok alkalmazásával a (2) egyenlet lesz

#I_ "rendszer" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 t