Ms. Fox megkérdezte, hogy az osztálya 4,2 és négyzetgyök összege 2 racionális vagy irracionális? Patrick azt válaszolta, hogy az összeg irracionális. Adja meg, hogy Patrick helyes vagy helytelen. Indokolja érvelését.

Válasz:

Összege # 4.2 + sqrt2 # irracionális; örökölni fogja a #sqrt 2 #.

Magyarázat:

egy irracionális szám olyan szám, amelyet nem lehet két egész szám arányaként kifejezni. Ha egy szám irracionális, akkor a tizedes kiterjesztése örökre folytatódik mintázat nélkül, és fordítva.

Ezt már tudjuk #sqrt 2 # irracionális. A decimális bővítés kezdődik:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

A szám #4.2# jelentése racionális; ez kifejezhető #42/10.# Amikor a 4.2 #sqrt 2 #, kapunk:

#sqrt 2 + 4.2 = szín (fehér) + 1.414213562373095 … #

#color (fehér) (sqrt 2) szín (fehér) + szín (fehér) (4.2 =) + 4.2 #

#color (fehér) (sqrt 2) szín (fehér) + szín (fehér) (4.2 =) bar (szín (fehér) (+) 5.614213562373095 …) #

Könnyen látható, hogy ez az összeg nem szűnik meg, és nem ismétlődő mintázattal rendelkezik, így irracionális is.

Általában a racionális szám és az irracionális szám összege mindig irracionális; az érv hasonló a fentiekhez.

Válasz:

#COLOR (kék) ("helyes") #

Magyarázat:

Ha azt mondjuk, hogy az összeg racionális: Minden racionális szám két egész szám hányadosa lehet # A / bcolor (fehér) (88) # #B! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

A két egész szám terméke egész szám:

A két egész szám különbsége egész szám:

Így:

# 5a-21b # egész szám.

# 5b # egész szám.

Ennélfogva:

# (5a-21b) / (5b) # racionális.

De ezt tudjuk #sqrt (2) # irracionális, ezért ez ellentmondás annak a feltételezésünknek, hogy az összeg racionális, ezért az irracionális szám és a racionális szám összege mindig irracionális.