Mekkora az f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) abszolút extrémája a [0,20] -ben?

Válasz:

Az abszolút minimum #0#, ami az #x = 0 # és # X = 20 #.

Az abszolút maximum # 15root (3) 5 #, ami az #x = 5 #.

Magyarázat:

Az abszolút szélsőséges lehetnek a következő pontok:

Fordulópontok; azaz pontok, ahol # dy / dx = 0 #

Az intervallum végpontjai

Már van végpontjaink (#0# és #20#), ezért keresse meg fordulópontjainkat:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

Tehát van egy fordulópont, ahol #x = 5 #. Ez azt jelenti, hogy a három lehetséges szélsőséges pont:

#x = 0 "" "" x = 5 "" "" x = 20 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Csatlakoztassuk ezeket az értékeket #f (X) #:

#f (0) = (0) ^ (1/3) (20 - 0) = 0 * 20 = szín (piros) 0 #

#f (5) = (5) ^ (1/3) (20 - 5) = gyökér (3) (5) * 15 = szín (piros) (15root (3) 5 #

#f (20) = (20) ^ (1/3) (20-20) = gyökér (3) (20) * 0 = szín (piros) 0 #

Ezért az intervallumon #x -ban 0, 20 #:

Az abszolút minimum #COLOR (piros) 0 #, ami az #x = 0 # és # X = 20 #.

Az abszolút maximum #COLOR (piros) (15root (3) 5) #, ami az #x = 5 #.

Végleges válasz