Mi az sqrt négyzetgyökere ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Válasz:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

legalább két a következő birtokról:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Magyarázat:

Vegye figyelembe, hogy:

# (X ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (Z ^ 2-x ^ 2) #

# = szín (piros) (törlés (szín (fekete) (x ^ 2))) - szín (piros) (törlés (szín (fekete) (x ^ 2))) + szín (lila) (törlés (szín (fekete)) (y ^ 2))) - színe (lila) (megszünteti (szín (fekete) (y ^ 2))) + színes (lila) (megszünteti (szín (fekete) (z ^ 2))) - színes (lila) (törlés (szín (fekete) (z ^ 2))) = 0 #

Tehát nézzük meg, mi történik, amikor térünk:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

mivel a négyzetes feltételek törlődnek …

# (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((Z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = Színű (piros) (megszünteti (szín (fekete) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (Z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((Z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((Z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

Tehát a kívánt négyzetgyökér:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#fehér szín)()#

Megjegyzések

A fenti válasz többé-kevésbé feltételezi, hogy:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Miközben ez legalább egyike van #a, b # nem negatív, nem sikerül, ha mindkettő negatív.

Ez történhet a fenti származtatás esetén, ha például:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Ezután megtaláljuk:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… az ellenkező jele annak, amire szükségünk van.