A Mars átlagos felületi hőmérséklete körülbelül 200K. A Pluto átlagos felületi hőmérséklete körülbelül 40K. Melyik bolygó bocsát ki több energiát másodpercenként négyzetméterenként? Mennyire?

Válasz:

A Mars bocsát ki #625# a Pluto egységnél nagyobb energiát jelent a felületegységenként.

Magyarázat:

Nyilvánvaló, hogy egy melegebb tárgy több fekete sugárzást bocsát ki. Így már tudjuk, hogy a Mars több energiát bocsát ki, mint a Plutó. Az egyetlen kérdés az, hogy mennyi.

Ez a probléma megköveteli a két bolygó által kibocsátott fekete test sugárzásának energiaértékelését. Ezt az energiát a hőmérséklet és a kibocsátott frekvencia függvényében írják le:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

A frekvencia integrálása az egységnyi területre jutó teljes teljesítményt adja meg a hőmérséklet függvényében:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(vegye figyelembe, hogy a fenti egyenlet használja # # Barh, a csökkent Planck állandó, nem pedig # H #. Nehéz olvasni a szocratárius jelölésében)

A kettő közötti arány megoldása így az eredmény hihetetlenül egyszerű. Ha # # T_p Plútó hőmérséklete és # # T_m a Mars hőmérséklete a tényező # A # kiszámítható:

# (Pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / Mégsem (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / törlés (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # annyiszor