A háromszög két sarkában (2 pi) / 3 és (pi) / 4 szögek vannak. Ha a háromszög egyik oldalának hossza 4, akkor a háromszög leghosszabb kerülete?

Válasz:

# P_max = 28,31 # egységek

Magyarázat:

A probléma két tetszőleges háromszög három szögéből ad ki. Mivel a háromszögek szögeinek összege legfeljebb 180 fokot kell hozzáadnia, vagy # Pi # radians, megtaláljuk a harmadik szöget:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# X = PI- (2pi) / 3-pi / 4 #

# X = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# X = pi / 12 #

Rajzoljuk meg a háromszöget:

A probléma azt állítja, hogy a háromszög egyik oldalának hossza 4, de nem határozza meg, hogy melyik oldalon. Bármelyik háromszögben azonban igaz, hogy a legkisebb az oldal a legkisebb szögtől ellentétes lesz.

Ha maximalizálni szeretnénk a kerületet, akkor a 4-es hosszúságú oldalt a legkisebb szögtől ellentétes oldallá kell tenni. Mivel a másik két oldal 4-nél nagyobb lesz, garantálja, hogy maximalizáljuk a kerületet. Ezért az out háromszög lesz:

Végül használhatjuk a a szinuszok törvénye a másik két oldal hosszait:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Csatlakoztatás:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / X = sin ((2pi) / 3) / y #

X és y megoldása:

# X = 10,93 # és # Y = 13,38 #

Ezért a maximális kerület:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Jegyzet: Mivel a probléma nem határozza meg a háromszög hosszúságegységeit, csak használja az "egységeket".