Hogyan találja az int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx-et részleges frakciók használatával?

Válasz:

Megpróbálod megosztani a racionális függvényt egy olyan összegre, amelyet igazán könnyű integrálni.

Magyarázat:

Először is: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

A részleges frakcióbontás lehetővé teszi, hogy ezt tegye:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # val vel # a, b RR-ben amit meg kell találnod.

Ahhoz, hogy megtaláljuk őket, mindkét oldalt meg kell szorozni az egyenlőség bal oldalán lévő polinomokkal. Egy példát mutatok nektek, a másik együtthatót ugyanúgy kell megtalálni.

Meg fogjuk találni # A #: mindent meg kell szoroznunk #x# a másik együttható eltűnése érdekében.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = egy #

Ugyanezt csinálod, hogy megtaláld # B # (mindent szaporít # (X-1) # majd választja #x = 1 #), és ezt megtudod #b = 1 #.

Így # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, ami azt jelenti, hogy #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #