Miért kell megtalálnia a komplex szám trigonometrikus formáját?

Attól függően, hogy mit kell tennie a komplex számokkal, a trigonometrikus forma nagyon hasznos vagy nagyon szörnyű lehet.

Például hagyja # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # és # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Számítsuk ki a két trigonometrikus űrlapot:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # és # Rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # és # Rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # és # Rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Tehát a trigonometrikus formák:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Kiegészítés

Tegyük fel, hogy számítani akarsz # Z_1 + z_2 + z_3 #. Ha az algebrai űrlapot használja, megkapja

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Nagyon könnyű. Most próbálja meg a trigonometrikus formát …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi))

kiderül, hogy a két kifejezés hozzáadásának legrövidebb módja a kosinusok és szinuszok megoldása, ami azt jelenti, hogy … az algebrai forma felé fordulva!

Az algebrai forma gyakran a legjobb formája a komplex számok hozzáadásának.

Szorzás

Most megpróbáljuk kiszámítani # Z_1 * * z_2 z_3 #. Az algebrai formák használata sok bosszantó számítást igényel. A termék trigonometrikus formákkal való megoldása egyszerűbb:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Az összetevők bizonyítják, hogy a második egyenlőség a trigonometriából származik: a kettő addíciós képletek

#sin (alfa + béta) = sin (alfa) cos (béta) + sin (béta) cos (alfa) #

#cos (alfa + béta) = cos (alfa) cos (béta) -sin (alfa) sin (béta) #

A komplex számok szaporodása még tisztább (de fogalmi szempontból nem könnyebb) exponenciális formában.

Bizonyos értelemben a trigonometrikus forma egyfajta közbenső forma az algebrai és az exponenciális formák között. A trigonometrikus forma a kettő közötti váltás módja. Ebben az értelemben ez egyfajta "szótár", hogy "lefordítsa" a formákat.