Mekkora az a feszültség, amelyet az f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x [1,3] körüli f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), az x tengely körüli forgatásával hoz létre?

Válasz:

Határozza meg a jelet, majd integrálja az alkatrészeket. Terület:

# A = 39,6345 #

Magyarázat:

Tudnia kell, hogy #f (X) # negatív vagy pozitív #1,3#. Ebből adódóan:

# XE ^ -X-xe ^ x #

#X (e ^ -X-e ^ x) #

A jel meghatározásához a második tényező pozitív lesz, ha:

# E ^ -X-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Mivel # E ^ x> 0 # bármilyen #x -ban (-oo, + oo) # az egyenlőtlenség nem változik:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# E ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#X <0 #

Tehát a funkció csak akkor pozitív, ha az x negatív, és fordítva. Mivel van még egy #x# tényező #f (X) #

#f (x) = x (e ^ -X-e ^ x) #

Ha az egyik tényező pozitív, a másik negatív, így f (x) mindig negatív. Ezért a terület:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (XE ^ -X-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3XE ^ -xdx + int_1 ^ 3XE ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -X _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) Az 'E ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) Az' E ^ xdx #

# A = xe ^ -X _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -X _1 ^ 3 - - e ^ -X _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Számológép használata:

# A = 39,6345 #

Válasz:

Terület = 11,336,8 négyzetméter

Magyarázat:

az adott #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

az egyszerűség kedvéért #f (x) = y #

és # y = xe ^ -x -xe ^ x #

az első származék # Y '# szükséges a felület számításához.

Terület # = 2pi int_1 ^ 3 y # # # Ds

hol # # Ds# = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

Terület # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

Határozza meg az első származékot # Y '#:

különbséget # y = x (e ^ -x - e ^ x) # a termék képlet származékának felhasználásával

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

az egyszerűsítés és a faktoring után az eredmény

az első származék # Y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Számolja ki most a területet:

Terület = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # # Ds

Terület # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

Terület

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # # Dx

Az ilyen bonyolult integrálokhoz használhatjuk a Simpson szabályát:

így

Terület

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # # Dx

Terület = -11,336,804

ez magában foglalja a forgásirányt úgy, hogy negatív felület vagy pozitív felület legyen. Nézzük csak a pozitív értéket: terület = 11336,804 négyzetegységet