Mekkora a t, amikor t megközelíti a 0 (tan6t) / (sin2t) értékét?

#lim_ (-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Ezt a L'hospital szabálya alapján határozzuk meg.

A L'Hospital szabálya úgy írja le, hogy ha a formanyomtatványt korlátozza #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, hol #f (a) # és #G (a) # olyan értékek, amelyek a határértéket határozatlanok (leggyakrabban, ha mindkettő 0, vagy valamilyen formája), akkor mindaddig, amíg mindkét funkció folyamatos és differenciálható a következő helyen: # A # ezt mondhatjuk

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Vagy szavakkal a két függvény hányadosának határértéke megegyezik a származékaik hányadosának határával.

A megadott példában van #f (t) = tan (6t) # és #G (t) = sin (2t) #. Ezek a funkciók folyamatosak és közelíthetők egymáshoz # t = 0, tan (0) = 0 és sin (0) = 0 #. Így a kezdetünk #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Ezért ki kell használnunk a L'Hospital szabályát. # d / dt tan (6t) = 6 sec ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. És így…

#lim_ (-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (-> 0) (6 sec ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sec ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Válasz:

A Reqd. Lim.#=3#.

Magyarázat:

Ezt meg fogjuk találni Határ az alábbiak használatával Standard eredmények:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Figyelje meg, hogy #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6T) / (6T)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6T) (2t) = 3frac (tan (6T) / (6T)) (sin (2t) / (2t)) #

Itt, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Hasonlóképpen, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Ezért a Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.