Mi az a egyenlő oldalú háromszög területe, amelynek csúcsai a 2-es sugarú körön vannak?

Válasz:

# 3 * sqrt (3) ~ = 5,196 #

Magyarázat:

Lásd az alábbi ábrát

Az ábra egy egyenlő oldalú háromszöget ábrázol, amelyet körbe írnak, ahol # S # a háromszög oldalát jelenti, # H # a háromszög magasságát jelenti, és # R # a kör sugara.

Láthatjuk, hogy az ABE, az ACE és a BCE háromszögek kongruensek, ezért mondhatjuk ezt a szöget #E kalap C D = (A kalap C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

Láthatjuk #triangle_ (CDE) # hogy

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = törlés (2) * R * sqrt (3) / Mégsem (2) # => # S = sqrt (3) * R #

Ban ben #triangle_ (ACD) # nem látjuk ezt

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * tan 60 ^ @ / 2 # => # H = sqrt (3) / 2 * s = sqrt (3) / 2 * sqrt (3) * R # => # H = (3R) / 2 #

A háromszög területének képletéből:

# S_triangle = (bázis * magasság) / 2 #

Kapunk

# S_triangle = (S * h) / 2 = (sqrt (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * sqrt (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * sqrt (3) * megszünteti (2 ^ 2)) / törlés (4) = 3 * sqrt (3) #