Tekintsünk 3 egyenlő kört az R sugarú sugárnak egy adott R sugarú körön belül, hogy megérintsük a másik kettőt és az adott kört az ábrán látható módon, majd az árnyékolt terület területe egyenlő?

Az árnyékolt régió területére kifejezést hozhatunk így:

#A_ "árnyékos" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "központ" #

hol #A_ "center" # a három kisebb kör közötti kis szakasz területe.

Ennek a területnek a megtalálásához három háromszöget rajzolhatunk a három kisebb fehér kör közepének összekapcsolásával. Mivel minden körnek sugara van # R #, a háromszög mindkét oldalának hossza # 2r # és a háromszög egyenlő oldalú, így a szögek # 60 ^ o # minden egyes.

Tehát azt mondhatjuk, hogy a központi régió szöge a háromszög területe, kivéve a kör három szektorát. A háromszög magassága egyszerűen #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, így a háromszög területe # 1/2 * alap * magasság = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

A háromszög szegmens területe ezen a háromszögben lényegében ugyanazon a területen van, mint az egyik kör körének (a szögek miatt) # 60 ^ o # mindegyik, vagy #1/6# egy kört, így ezeknek az ágazatoknak a teljes területét lehet levonni # 1/2 pir ^ 2 #.

Végül ki lehet dolgozni a középső régió területét #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Így visszatérve az eredeti kifejezéshez, az árnyékolt terület területe

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Válasz:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Magyarázat:

Adjuk meg a fehér körök sugarát # R = 1 #. A központok egyenlő oldalú háromszöget alkotnak #2#. Minden medián / magasság van #sqrt {3} # így a csúcstól a centroidig terjedő távolság # 2/3 sqrt {3} #.

A centroid a nagy kör középpontja, így ez a távolság a nagy kör közepe és a kis kör közepe között van. Hozzáadunk egy kis sugarat # R = 1 # eljutni

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Az általunk keresett terület a nagy kör környéke, kevesebb egyenlő oldalú háromszög és a fennmaradó #5/6# minden kis körből.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - qrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Mérjük # R ^ 2 # általában.