Hogyan oldja meg a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2) (sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Tehát:

# 0 = a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (A-gyök (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

1/4 kivonása mindkét oldalról:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Ez nem rendelkezik valós szám megoldásokkal, mivel bármely valós szám négyzete nem negatív.

Ha komplex megoldásokat szeretne, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

hozzáadása #sqrt (3/2) # mindkét oldalra jutunk

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Elkezdném alkalmazni a képletet a kvadratikus egyenletek megoldására (valójában ez egy kvadratikus egyenlet az "a" -ban):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) / (2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Mint látható, az egyenletnek nincs igazi megoldása, mivel négyzetgyökje negatív szám (#sqrt (-1) #).

• Tehát, ha valódi számokkal dolgozik, a válasz az, hogy nincs #a az RR-ben ami teszi # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• De ha komplex számokkal dolgozik, akkor két megoldás van:

  # A_1 = (sqrt3 + i) / 2 # és # A_2 = (sqrt3-i) / 2 #.