Legyen N a legkisebb egész szám 378 osztóval. Ha N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, mi az értéke {a, b, c, d} az NN-ben?

Válasz:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19 051 200 #

Magyarázat:

Számot adott # N # elsődleges faktorizációval #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, a # N # a forma # P_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # hol #beta_i {0, 1, …, alpha_i} #. Ahogy vannak # Alpha_i + 1 # választások # # Beta_i, az osztók száma # N # által adva

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ K (alpha_i + 1) #

Mint # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, az osztók száma # N # által adva # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Így célunk, hogy megtaláljuk # (a, b, c, d) # úgy, hogy a fenti termék tart # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # minimális. Ahogy minimalizálunk, ebből a pontból fogjuk feltételezni #A> = b> = c> = d # (ha ez nem így van, akkor kicserélhetjük az exponenseket, hogy kisebb eredményt kapjunk azonos számú osztókkal).

Megjegyezve, hogy # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, megvizsgálhatjuk a lehetséges eseteket #378# négy egész számból áll # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Ezeket ellenőrizhetjük, hogy lássuk, melyik a legkisebb eredmény # N #.

Formátum: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3,3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1,7xx10 ^ 9 #

#color (piros) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => 9,0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Itt megállhatunk, hiszen minden további esetnek van egy része #k_i> = 27 #, adom # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, ami már nagyobb, mint a legjobb esetünk.

A fenti munkával a # (a, b, c, d) # amely minimális # N # val vel #378# osztók # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, adom #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19 051 200 #