Legyen p egy nem szinguláris mátrix 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O a null mátrixot jelenti), majd p ^ -1?

Válasz:

A válasz # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Magyarázat:

Tudjuk

# P ^ -1p = I #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Szorozzuk mindkét oldalt # P ^ -1 #

# P ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# P ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# P ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# P ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Ebből adódóan, # P ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # de # P # hipotézis szerint nem létezik, hanem létezik # P ^ -1 # így

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

és végül

# p ^ - 1 = - összeg_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

Szintén megoldható

# p ^ -1 = -p (összeg_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #