Egy egyenlőszárú háromszög két sarka (8, 3) és (5, 4). Ha a háromszög területe 4, akkor milyenek a háromszög oldalai?

Válasz:

Az oldalak hossza #sqrt 10, sqrt 10, sqrt 8 # és a pontok # (8,3), (5,4) és (6,1) #

Magyarázat:

Legyen a háromszög pontjai # (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3).

A háromszög területe A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

Adott # A = 4, (x_1, y_1) = (8,3), (x_2, y_2) = (5,4) #

A helyettesítésnek az alábbi területi egyenlete van:

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) / 2) = 4 #

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3 - 15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> 1. egyenlet

A pontok közötti távolság #(8,3), (5,4)# a távolság képlet használata

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

A pontok közötti távolság # (x_3, y_3), (5,4) # a távolság képlet használata

#sqrt ((x_3 -5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Squaring mindkét oldalon és a feliratozás # x_3 = 9 - 3y_3 # Az 1. egyenletből négyzetes egyenletet kapunk.

# (9-3y_3 - 5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

Ezt tényleg befolyásolva # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 vagy y = 2.2. y = 2,2 eldobható. Ezért a harmadik pontnak (6,1) kell lennie.

A pontok távolságának kiszámításával # (8,3), (5,4) és (6,1) #, kapunk # sqrt 8 # az alap hossza.