Miért az 5 négyzetgyök irracionális szám?

Válasz:

Lásd a magyarázatot …

Magyarázat:

Íme egy ellentmondásos bizonyíték vázlata:

Tegyük fel #sqrt (5) = p / q # néhány pozitív egész számra # P # és # Q #.

Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük #p, q # ezek a számok a legkisebbek.

Ezután definíció szerint:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Szorozzuk meg mindkét végét # Q ^ 2 # megkapja:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Így # P ^ 2 # osztható #5#.

Akkor azóta #5# elsődleges, # P # oszthatónak kell lennie #5# is.

Így #p = 5m # pozitív egész számra # M #.

Tehát:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Oszd meg mindkét végét #5# megkapja:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Oszd meg mindkét végét # M ^ 2 # megkapja:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Így #sqrt (5) = q / m #

Most #p> q> m #, így #q, m # egy kisebb egész szám, amelynek hányadosa #sqrt (5) #, ellentmond a hipotézisünknek.

Tehát a hipotézisünk #sqrt (5) # lehet képviselni # P / q # néhány egész számra # P # és # Q # hamis. Ez az, #sqrt (5) # nem racionális. Ez az, #sqrt (5) # irracionális.