Válasz:
# X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #
Magyarázat:
Mivel ez a quartic nem rendelkezik racionális gyökerekkel (és nem tudok zavarni a képletekkel), elkezdjük a Newton módszerét a gyökerek közelítésére:
# X ~~ -0,303 #
# X ~~ -0,618 #
# X ~~ 1,618 #
# X ~~ 3,303 #
Ezek közül azt találjuk # X ~~ -0,618 # és # X ~~ 1,618 # kiáll. Ezt arany arányként ismerjük fel:
# X = (1 + -sqrt5) / 2 #
Meggyőződhetünk arról is, hogy ezek gyökerek, ha azokat az egyenlethez csatlakoztatják, de meg tudod venni, hogy valóban gyökerei vannak.
Ez azt jelenti, hogy az alábbi tényező a következő:
# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #
# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #
# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = X ^ 2-x-1 #
Mióta tudjuk # X ^ 2-x-1 # tényező, a polinom hosszú osztást használhatjuk, hogy megtudjuk a maradékot és átírjuk az egyenletet így:
# (X ^ 2-x-1) (X ^ 2-3x-1) = 0 #
Már rájöttünk, amikor a bal tényező nulla, így most nézzük a jobb oldalt. A kvadratikus megoldást a kvadratikus képlettel lehet megoldani, hogy:
# X = (3 + -sqrt13) / 2 #
