Az a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) szekvencia konvergens vagy eltér?

Válasz:

# "Lásd a magyarázatot" #

Magyarázat:

#a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n #

# = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n #

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n #

# "Ne feledje, hogy könnyebben alkalmazhatja az Euler-korlátot itt:" #

#lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2,7182818 …. #

# => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 …. #

# "Tehát a sorozat nagyon nagy, de nem végtelenül nagy, így" #

# "Konvergál." #

Mi lesz a következő szekvencia határértéke, amely n végtelenre hajlamos? Összeegyezik vagy eltér a sorrend?

1 lim_ (n ) a_n = lim_ (n ) (1 + sinn) ^ (1 / n) = (1 + sin ) ^ (1 / ) = (1+ (bármely szám -1 és 1 között) 1)) ^ 0 = 1 ez azt jelenti, hogy az adott szekvencia konvergens és 1-re konvergál

A sorozat feltétlenül konvergens, feltételesen konvergens vagy eltérő? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...

Teljesen összehangolódik. Használja az abszolút konvergencia tesztjét. Ha a kifejezések abszolút értékét vesszük, akkor a 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... szériát használjuk. Így konvergál. Mivel mindkettő | a_n | konvergens a_n teljesen konvergál. Remélhetőleg ez segít!

A sorozat a__ (n = 0) ^ vég / 1 ((2n + 1)!) Teljesen konvergens, feltételesen konvergens vagy eltér?

"Hasonlítsa össze" az összeggel {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 ... "Minden kifejezés egyenlő vagy kisebb, mint a" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 ... "Minden kifejezés pozitív, így a sorozat S értéke" 0 <S <e = 2,7182818 között van. "Tehát a sorozat teljesen konvergens „.