# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # a forma # Y ^ 2-2y + 1 # hol #y = x ^ 3 #.
Ez a négyzetes képlet # Y # tényezők:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Így # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Így # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X ^ 2 + x + 1 # nincs lineáris tényezője valós tényezőkkel. Hogy ellenőrizze ezt az értesítést, az az űrlapból áll # ax ^ 2 + bx + c #, amely diszkrimináns:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Negatív, az egyenlet # x ^ 2 + x + 1 = 0 # nincs igazi gyökere.
A válasz ellenőrzésének egyik módja az érték helyettesítése #x# ez nem egy gyökér mindkét oldalra, és nézze meg, hogy ugyanazt az eredményt kapjuk:
Próbáld ki # X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Összehasonlítás:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Nos, ez működött!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # meglehetősen könnyű tényező, mert tökéletes négyzet. Hogy tudom ezt? Ez egy trinomális a formában # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, és a trinomialisok ebben a formában tökéletes négyzetek.
Ez a trinómia a tökéletes négyzet # (x ^ 3 - 1) #. A munkám ellenőrzéséhez visszafelé fogok dolgozni:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Tehát ennek a trinómának van tényezője #1#, # x ^ 3 - 1 #, és # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Amint azonban rámutattak, # (x ^ 3 - 1) # tényezők is vannak. Mivel ez az űrlap binómája # a ^ 3 - b ^ 3 #, akkor is írható # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Így, # (x ^ 3 - 1) # tényezők # (x - 1) # és # (x ^ 2 + x + 1) #, amelyek mindkettő elsődleges.
A tényezők # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # vannak:
#1#
# X-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Pontosabban, a PRIME faktorizációja # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # jelentése:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
