Mi az f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) tartomány és tartomány?

Válasz:

Tartomány: az egész valódi sor

Hatótávolság: #-0.0757,0.826#

Magyarázat:

Ez a kérdés kétféleképpen értelmezhető. Vagy arra számítunk, hogy csak a valódi sorral foglalkozunk # RR #, vagy pedig a komplex sík többi részével # CC #. A … haszna #x# mint változó azt jelenti, hogy csak a valódi sorral foglalkozunk, de érdekes különbség van a két eset között, amit megjegyzek.

A (z) # F # az a számjegyhalmaz összessége, amely mínusz minden olyan pont, amely a függvényt a végtelenségig felrobbantja. Ez akkor fordul elő, ha a nevező # X ^ 2 + 4 = 0 #, azaz amikor # X ^ 2 = -4 #. Ennek az egyenletnek nincs igazi megoldása, így ha a valós soron dolgozunk, akkor a tartomány az egész intervallum # (- oo, + oo) #. Ha figyelembe vesszük a függvény végtelen korlátait a számláló és a nevező vezető feltételeinek összehasonlításával, úgy látjuk, hogy mindkét végtelenségben nulla, és így, ha azt szeretnénk, adjuk hozzá ezeket az intervallumokat, hogy bezárjuk: # - oo, + oo #.

Az egyenlet # X ^ 2 = -4 # azonban két komplex megoldása van, #X = + - 2i #. Ha figyelembe vesszük az egész komplex síkot, akkor a tartomány az egész sík, mínusz a két pont: # CC # # {+ - 2i} #. Ahogy a valósághoz hasonlóan, a végtelenséghez hasonlóan is hozzáadhatunk, ha szeretnénk.

A # F # meg kell találnunk a maximális és minimális értékeit a domainjére. Most már csak a valóságban fogunk beszélni, mivel az analógok meghatározása ezekre a komplex síkban általában más, különböző matematikai eszközöket igénylő probléma.

Vegyük az első derivatívát a hányadosszabály szerint:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

A funkció # F # amikor egy extremumot vagy egy inflexiós pontot ér el #f '(x) = 0 #, azaz amikor # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Ezt a négyzetes képlettel oldjuk meg:

# X = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Tehát a funkciónak két ilyen pontja van.

Ezeket a pontokat jellemezzük az értékek vizsgálatával a (z) # F #, melyet ismételten a hányados szabályon keresztül veszünk:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Az első derivált gyökér számításunkból tudjuk, hogy a második kifejezés a számlálóban nulla a két pontnál, mivel a nullára állítás az az egyenlet, amelyet csak megoldottunk, hogy megtaláljuk a bemeneti számokat.

Szóval, megjegyezve # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

E kifejezés megjelölésének meghatározásakor megkérdezzük, hogy # 26> 6sqrt (13) #. A két oldal összehasonlítása: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Így # 26-6sqrt (13) # pozitív (és. t # 26 + 6sqrt (13) # még inkább).

Tehát az egész kifejezés jele az #bar (+) # előtte, ami azt jelenti, hogy # X = -3-sqrt (13) # van #f '' (x)> 0 # (és ezért egy funkció minimális) és # X = -3 + sqrt (13) # van #f '' (x) <0 # (és ezáltal maximálisan függvény). Miután megállapítottuk, hogy a függvény a végtelenségen nullára mutat, most teljesen megértjük a függvény alakját.

Tehát most, hogy megkapjuk a tartományt, ki kell számítanunk a függvény értékeit a minimális és maximális pontokon # X = -3 + -sqrt (13) #

Emlékezzünk erre #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, és aztán

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Szóval, a valódi vonal felett # RR # a funkció #f (X) # a tartomány értékeit veszi figyelembe # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), gyök (13) / (26-6sqrt (13)) #, amely, ha számszerűsítjük, jön #-0.0757,0.826#, három jelentős számra, amelyeket a #x# értékeket #-6.61# és #0.606# (3 s.f.)

Rajzolja meg a függvény grafikonját, mint egy józan ellenőrzést:

grafikon {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Válasz:

Domain: #x az RR-ben

Hatótávolság: #f (x) -0.075693909, + 0.825693909 színben (fehér) ("xxx") # (hozzávetőlegesen, körülbelül)

Magyarázat:

Adott

#COLOR (fehér) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domain

A domain az összes érték #x# amelyekre #f (X) # definiált.

Bármely polinommal osztott függvény, amelyet polinom oszt meg, a függvény minden értékre definiálva van #x# ahol az osztó polinomja nem egyenlő nullával. Mivel # X ^ 2> = 0 # minden értékhez #x#, # X ^ 2 + 4> 0 # minden értékhez #x#; ez az #x! = 0 # minden értékhez #x#; a függvény minden Real számára meg van határozva# RR #) #x#.

Hatótávolság

A hatótávolság egy kicsit érdekesebb.

Megjegyezzük, hogy ha egy folyamatos függvény határértékekkel rendelkezik, akkor a függvény deriváltja a határértékeket eredményező pontokban nulla.

Noha ezek közül néhány lépés triviális lehet, ezt a folyamatot a derivatívák viszonylag alapelveiből fogjuk végezni.

1 Exponens szabály a származékok számára

Ha #f (x) = x ^ n # azután # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 A származtatott ügyletek összegszabálya

Ha #f (x) = R (x) + S (X) # azután # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 A származékos termékek termékszabálya

Ha #f (x) = g (x) * h (x) # azután # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 A származékos termékek láncszabálya

Ha #f (x) = p (q (x)) # azután # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Az adott funkcióhoz #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

megjegyezzük, hogy ezt úgy írhatjuk, mint #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Tudjuk, hogy 3

#color (fehér) ("XXX") szín (piros) ((df (x)) / (dx)) = szín (mész) ((d (x + 3)) / (dx) * szín (kék) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + szín (kék) ((x + 3)) * szín (bíbor) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

1 van

#color (fehér) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

és 2

#COLOR (fehér) ("XXX") színes (mész) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = színes (mész) (1) #

4 van

#color (fehér) ("XXX") szín (bíbor) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

és 1 és 2

#color (fehér) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

vagy egyszerűsített:

#COLOR (fehér) ("XXXXXXXX") = színes (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

ad nekünk

#color (fehér) ("XXX") szín (piros) ((df (x)) / (dx)) = szín (zöld) 1 * szín (kék) ((x + 4) ^ (- 1)) + szín (kék) ((x + 3)) * szín (bíbor) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

amely egyszerűsíthető

#color (fehér) ("XXX") szín (piros) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Amint azt (visszafelé) megjegyezzük, ez azt jelenti, hogy a határértékek akkor jelentkeznek, amikor

#COLOR (fehér) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (fehér) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

majd a kvadratikus képlet használatával (nézd meg ezt, a Socratus már panaszkodik a válasz hosszára)

amikor

#COLOR (fehér) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Ahelyett, hogy meghosszabbítanánk az agóniát, egyszerűen beilleszthetjük ezeket az értékeket a számológépünkbe (vagy a táblázatba, ami így van), hogy megkapjam a korlátozásokat:

#COLOR (fehér) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -,075693909 #

és

#COLOR (fehér) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~,825693909 #

Válasz:

Egyszerűbb módja a tartomány megtalálásának. A domain #x az RR-ben. A tartomány a #y -0.076, 0.826 #

Magyarázat:

A domain #x az RR-ben mint

#AA x RR-ben, a nevező # X ^ 2 + 4> 0 #

enged # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Kereszt szaporodik

#=>#, #Y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# Yx ^ 2-x + 4Y-3 = 0 #

Ez egy négyzetes egyenlet #x#

Vannak megoldások, ha a diszkrimináns #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4Y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Ebből adódóan, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása

# y (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y -0.076, 0.826 #

grafikon {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}