# 53a2b + példa

Válasz:

A távolság meghatározása inverzus az inerciális keret változása alatt, és ezért fizikai jelentése van.

Magyarázat:

A Minkowski-tér 4 dimenziós térképrendszerként van kialakítva, amely paraméter-koordinátákat tartalmaz # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, ahol általában mondjuk # X_0 = ct #. A különleges relativitás középpontjában a Lorentz-transzformációk vannak, amelyek az egyik inerciális keretből a másikba történő átalakulások, amelyek a fénysebességet hagyják. Nem megyek a Lorentz-transzformációk teljes levezetésébe, ha azt akarom, hogy elmagyarázzam, csak kérdezzek és részletesebben fogok elmagyarázni.

Ami fontos, a következő. Amikor az euklideszi térre nézünk (az a tér, amelyben a szokásos hosszúság meghatározása van) # DS ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), bizonyos átalakításaink vannak; térbeli forgások, fordítások és tükrözések. Ha kiszámítjuk a két pont közötti távolságot ezekben az átalakításokban összekapcsolt különböző referenciakeretekben, akkor a távolság megegyezik. Ez azt jelenti, hogy az euklideszi távolság ezekben az átalakításokban invariáns.

Most kiterjeszti ezt a fogalmat 4 dimenziós téridőre. Mielőtt Einsteins speciális relativitáselméletét elméleti keretek követték volna el Galilei átalakításokkal, amelyek csak helyettesítették a térbeli koordinátát # # X_i által # X_i-v_it # mert #iin {1,2,3} # hol # # V_i a megfigyelő sebessége a #én# irányt az eredeti kerethez képest. Ez az átalakulás nem hagyta el a fénysebességet, de a vonalelem által kiváltott távolságot hagyta # DS ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #egyszerűen azért, mert nincs változás az idő koordinátáján, így az idő abszolút.

A Galilei-transzformáció azonban nem írja le pontosan egy inerciális keret átalakítását egy másikra, mert tudjuk, hogy a fénysebesség invariáns a megfelelő koordináta-transzformációk alatt. Ezért bevezettük a Lorentz-transzformációt. Az euklideszi távolság, amelyet a fentebb leírt 4-dim-es téridőre kiterjesztettünk, nem invariáns ebben a Lorentz-transzformációban, azonban a # DS ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # az, amit megfelelő távolságnak nevezünk. Tehát bár ez az euklideszi távolság, ahol a Pythagoras-tétel tart, tökéletesen tisztességes matematikai struktúra a 4 homályos téren, nincs fizikai jelentése, mivel függ a megfigyelőtől.

A megfelelő távolság nem függ a megfigyelőtől, ezért fizikai jelentést tudunk adni, ezt úgy végezzük, hogy összekapcsoljuk a világvonal Mangowski-téren átívelő felületét, ezzel a távolsággal a világvonal mentén haladó objektum által megfigyelt időig. Megjegyezzük, hogy ha az időt rögzítettük, a Pythagoras tétel még mindig a térbeli koordinátákban van.

EDIT / KIEGÉSZÍTŐ LEÍRÁS:

Ennek a kérdésnek az eredeti kérdezője arra kért, hogy dolgozzam ki egy kicsit, írta: "Köszönöm. De kérlek, magyarázd meg egy kicsit többet az utolsó két pontról. # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. Kérjük, magyarázd el: "A lényeg, hogy mi itt van, egy kétdimenziós változata annak, amit fentebb leírtam. Egy idő és egy tér dimenzióval rendelkezünk a téridő leírásával. Ezen a ponton egy távolságot definiálunk, vagy pontosabban egy normát (egy távolságot) az eredet egy pontig) # S # a képlet használatával # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # hol #x# a térbeli koordináta és # T # az időbeli koordinátát.

Amit fent tettem, ennek háromdimenziós változata volt, de még fontosabb # (DS) ^ 2 # ahelyett # S ^ 2 # (Hozzáadtam zárójeleket a négyzet tisztázásához). Anélkül, hogy túlságosan részleteznénk a differenciál geometria részleteit, ha van egy vonalunk, amely két pontot köt össze az űrben, # # Ds a vonal egy kis darabjának, az úgynevezett vonalelemnek a hossza. A fent leírt kétdimenziós változata révén van # DS ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, amely ezen apró darab hosszát a koordináták apró változásához kapcsolja. Az eredetektől a pontig terjedő távolság kiszámításához # X_0 = a, x_1 = b # az időközben kiszámítjuk az egyenes vonal hosszát, amely az eredetektől az adott pontig megy, ez a vonal megadva # X_0 = a / bx_1 # hol # X_1in 0, b #, ezt megjegyezzük # Dx_0 = a / bdx_1 #, így # DS ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, így # DS = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, amit integrálhatunk, adhatunk # S = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Ebből adódóan # S ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # ban ben # (T, x) # koordináták.

Tehát, amit fentebb írtam, az adja meg, amit olvasott a könyvben. A vonalelem verziója azonban lehetővé teszi, hogy kiszámítsa bármely vonal hosszát, nem csak egyenes vonalakat. A Lorentz-transzformációról szóló történet még mindig fennáll, ez a norma # S # míg a referencia keret változása alatt invariáns # X ^ 2 + (ct) ^ 2 # nem.

Az a tény, hogy a Pythagoras-tétel nem rendelkezik, nem meglepő. A Pythagoras-tétel az euklideszi geometriában van. Ez azt jelenti, hogy a hely, ahol dolgozol, lapos. Például a nem sík terek egy gömbfelület. Ha meg akarja találni a két pont közötti távolságot ezen a felületen, akkor a legrövidebb utat kell áthaladnia ezen a felületen, amely összeköti ezeket a két pontot. Ha jobbra háromszöget épített volna erre a felszínre, ami nagyon különbözne az euklideszi tér háromszögétől, mivel a vonalak nem egyenesek, a Pythagoras-tétel általában nem rendelkezik.

Az euklideszi geometria másik fontos jellemzője, hogy amikor egy koordinátarendszert helyezünk el erre a helyre, minden koordináta ugyanezt a szerepet tölti be. Elforgathatja a tengelyeket, és ugyanazzal a geometriával végződhet. A Minkowski-geometriában nem minden koordinátának van ugyanaz a szerepe, mivel az idő-tengelyek mínusz jele az egyenletekben, a többiek nem. Ha ez a mínuszjel nem volt, az idő és a tér hasonló szerepet játszana a téridőben, vagy legalábbis a geometriában. De tudjuk, hogy a tér és az idő nem azonos.