A következő egyenlet megoldása: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Válasz:

# X = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Ez a magyarázat meglehetősen mélyreható módszert ad annak meghatározására, hogy milyen lépéseket kell találni a négyzetes típusú egyenlet átírásához, hogy a négyzetes egyenlet és / vagy számológép nélkül megoldható legyen.

Magyarázat:

Először négyzet a kifejezés az egyenlet bal oldalán.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Bontsa ki a négyzetes binomiális értéket. Emlékezzünk erre # (X ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

A frakciókat az egyenletet a legkisebb közös nevezővel megszorozhatjuk #3,25,# és #9,# ami #225#.

Vegye figyelembe, hogy #225=3^2*5^2#, így #225/3=75#, #225/25=9#, és #225/9=25#.

Szorzással #225# ad:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Osztjuk el az összes szorzó konstansot.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Mozgassa az összes kifejezést az egyik oldalra, és rendezze át az egyenletet.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Ez potenciális tényező lehet: a hiánya # X ^ 3 # és #x# kifejezések azt jelenti, hogy ezt a formanyomtatványt figyelembe lehet venni # (X ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Tényezők teszteléséhez vegye figyelembe, hogy egy olyan egész számot kell találnunk, amelynek terméke az első és a végső együttható eredménye. # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Ugyanazok az egész számok, amelyek terméke #3^2*11*19# összege #-118#.

Mivel a termék pozitív és az összeg negatív, mindkettő pozitív lesz.

A trükk most az, hogy megtalálja a számok kombinációját #3^2*11*19# amelynek összege #118#. (Ha megtaláljuk a pozitív verziót, akkor mindkét számot könnyen negatív formába kapcsolhatjuk.)

Meg kell próbálnunk a tényezők csoportosítását #3^2*11*19# ami nem haladja meg a #118#.

Előzetesen kiküszöbölhetjük a lehetőségét #3^2*19# és #11*19# a két egész számunk egyikénél fordul elő, mivel mindkettő nagyobb, mint #118#. Így ha összpontosítunk #19# mivel ez a legnagyobb tényező, tudjuk, hogy csak akkor létezik #19# vagy #3*19#.

Tehát az egész számokra vonatkozó két lehetőségünk:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Ezért a mi párszámunk, amelynek terméke #3^2*11*19# és az összeg #118# jelentése #19# és #99#.

Ebből a kvartikust írhatjuk:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Faktor csoportosítás szerint:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Oszd ezt két egyenletre:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Válasz:

A frakciókkal egyenlő egyenletek mindig rosszabbak, mint ők. Mindaddig, amíg van egyenlete, és nem egy kifejezés, akkor megszabadulhat a nevezőtől, ha a nevezők LCM-jével megszorozzuk.

Magyarázat:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Kezdjük azzal, hogy a második kifejezésben nevezzük el a nevezőt.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Most megszorozzuk az egyes kifejezéseket 225-rel, hogy töröljük a nevezőket.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + Cancel (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = töröl (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Ez nyilvánvalóan négyzetes, így 0-ra egyenlő.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Figyeljük meg, hogy az első és a harmadik kifejezés olyan, mint a kifejezések, így összeadhatjuk őket. Szintén négyzet a középtávon.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Távolítsa el a zárójeleket a forgalmazási jog szerint:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Egyszerűbb: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

A 9 és 209 tényezők feltárása

9 = 3x3, vagy 9x1 és 209 = 11 x 19

A 118-at növelő tényezők kombinációja 99 + 19

A tényezők megadása # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Ha # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Ha # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #