Mit jelent az sqrt (3 + i) + bi formában?

Válasz:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Tegyük fel # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Tehát a valós és a képzeletbeli részek egyenlővé tétele:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Ennélfogva #b = 1 / (2a) #, amit az első egyenletre helyettesíthetünk:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Szorozzuk mindkét végét # 4a ^ 2 # megkapja:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Így:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

A kvadratikus képletből:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Mivel #sqrt (10)> 3 #, válaszd a #+# jel, hogy valódi értéket kapjon # A #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

hol # B # ugyanaz a jel, mint a # A # mivel #b = 1 / (2a) #

A fő négyzetgyök Q1-ben van #a, b> 0 #

Ez az:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Valójában, ha #c, d> 0 # akkor hasonlóan megmutathatjuk:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) i #