Hogyan találja meg a dx / (cos (x) - 1) antivírusát?

Válasz:

Csináljunk valamilyen konjugált szorzást, alkalmazzunk néhány trigmet, és befejezzük, hogy eredményt kapjunk # Int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx +, C #

Magyarázat:

Ahogy a legtöbb ilyen típusú problémához hasonlóan, konjugált szorzási trükk segítségével megoldjuk. Valahányszor valami valami plusz / mínusz valamit megosztott (mint az # 1 / (cosx-1) #), mindig hasznos a konjugált szorzás kipróbálása, különösen a trigger funkciókkal.

Kezdjük a szorzással # 1 / (cosx-1) # a konjugátum által # Cosx-1 #, ami # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Lehet, hogy vajon miért csináljuk ezt. Tehát így alkalmazhatjuk a négyzetek tulajdonságainak különbségét, # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #a nevezőben egy kicsit egyszerűsíteni. Vissza a problémához:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#COLOR (fehér) (III) acolor (fehér) (XXX) bcolor (fehér) (XXX) acolor (fehér) (XXX) b #

Figyeljük meg, hogy ez lényegében # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Most mi van # Cos ^ 2x-1 #? Nos, tudjuk # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Szorozzuk meg ezt #-1# és nézze meg, mit kapunk:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Kiderült, hogy # -Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, szóval cseréljük ki # Cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Ez egyenértékű # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, amely néhány trig-t használva lefordul # -Cotxcscx-CSC ^ 2x #.

Ezen a ponton egyszerűsítettük az integrálást # Int1 / (cosx-1) dx # nak nek # Int-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #. Az összegszabály használatával ez lesz:

# Int-cotxcscxdx + int-CSC ^ 2xdx #

Ezek közül az első az # # Cscx (mert a. t # # Cscx jelentése # # -Cotxcscx) és a második a # # Cotx (mert a. t # # Cotx jelentése # -Csc ^ 2x #). Adjunk hozzá az integráció konstansához # C # és a megoldásod van:

# Int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx +, C #