Hogyan válasszunk két számot, amelyekre a négyzetgyök összege minimális, tudva, hogy a két szám terméke egy?

Válasz:

# X = y = sqrt (a) #

Magyarázat:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "minimális" #

# "Dolgozhattunk a Lagrange szorzóval L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Termelési hozamok:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(azután, hogy megszorozta az x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Most még mindig ellenőrizni kell az x = 0 értéket." #

# "Ez akkor lehetetlen, mint x * y = 0." #

# "Így van az egyedi megoldás" #

# X = y = sqrt (a) #

Válasz:

Megpróbálom átvenni az alábbi megoldási módszert.

Magyarázat:

Mit keresünk?

Két szám. Adjunk nekik neveket, #x# és # Y #.

Olvassa újra a kérdést.

Azt akarjuk, hogy a négyzetgyök összege minimális legyen.

Ez két dolgot mond nekünk

(1) mindkét szám nem negatív (a képzelet elkerülése érdekében)

(2) Érdekli az érték # Sqrtx + sqrty #

Olvassa újra a kérdést.

Azt is elmondta, hogy a termék #x# és # Y # jelentése # A #.

Ki választja # A #?

Általában, ha egy gyakorlat mond valamit # A # vagy # B # vagy # C #, azokat a konstansokat vesszük, amelyeket valaki más ad.

Tehát azt mondhatjuk: "a termék #x# és # Y # jelentése #11#'

vagy "a #x# és # Y # jelentése #124#'.

Mindezeket egyszerre kell megoldanunk, mondván # Xy = a # valamilyen állandóra # A #.

Szóval, szeretnénk # Sqrtx + sqrty # a lehető legkisebb # Xy = a # valamilyen állandóra # A #.

Ez úgy néz ki, mint egy optimalizálási probléma, és ez egy. Tehát egy változó funkcióját szeretném minimalizálni.

# Sqrtx + sqrty # két változóval rendelkezik, #x# és # Y #

# Xy = a # két változó is van, #x# és # Y # (emlékezik # A # állandó)

Így #y = a / x #

Most szeretnénk minimalizálni:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Keresse meg a származékot, majd a kritikus számokat és tesztelje a kritikus számokat. Befejezés legyenek # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritikai # # Sqrta

#f '(x) <0 # mert #x <sqrta # és #f '(x)> 0 # mert #x> sqrta #, így #f (sqrta) # minimális.

#x = sqrta # és #y = a / x = sqrta #

Válasz:

# 2 gyökér (4) (a) #

Magyarázat:

Ezt tudjuk #x_i> 0 # nekünk van

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {fr {1} {n}} le {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

azután

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # azután

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 gyökér (4) (x_1x_2) #

de # x_1x_2 = egy # azután

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 gyökér (4) (a) #