Ennek megoldása a riemann integrál használatával?

Válasz:

# {{{q} {e ^ pi}} {e ^ 2} vagy # 1.302054638 … #

Magyarázat:

A végtelen termékekkel kapcsolatos bármilyen probléma megoldásához az első számú legfontosabb identitás a végtelen összegek problémájának átalakítása:

# pr_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

HANGSÚLY:

# = exp összeg_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

De mielőtt ezt megtehetnénk, először az # {fr {1} {n ^ 2} -vel kell foglalkoznunk, és a btw-t nevezzük a végtelen L-nek:

# L = lim_ {n és + bite} fr {1} {n ^ 2} termék_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {{{}} {n}} #

# = lim_ {n + +}} {{}} {n ^ 2} termék_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {{{}}

# = lim_ {n + +}} {{{^ ^}} {n ^ 2} pr__ {k = 1} ^ {n} (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {fr {1} {n}} = lim_ {n és +}} {{= {}} {n} (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {fr {1} {n}} #

Most ezt végtelen összegre konvertálhatjuk:

# L = lim_ {n és + bite} pr_ {k = 1} ^ {n} (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {fr {1} {n} } = lim_ {n + +} exp összeg_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {{{}} {n}}) #

logaritmus tulajdonságok alkalmazása:

# L = lim_ {n és + t} exp össz_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

A limit tulajdonságok használata:

# L = exp lim_ {n + +} }_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Hívjuk a végtelen összeget S:

# S = lim_ {n és + tj} sum_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) #

És ne feledje, hogy

# L = exp (S) #

Most oldjuk meg a kérdésedet úgy, hogy az a RIEMANN SUM a DEFINITE INTEGRAL:

Emlékezzünk egy Riemann összeg meghatározására:

HANGSÚLY:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n + + t} }_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (fr {ba} {n })) * t

enged

# {{{}} {{}} {n} f (a + k (fr {ba} {n})) * {{}} {n + +} }_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Most hagyd # f (x) = ln (1 + x ^ 2) és a = 0 #

# f (k (fr {b} {n})) = ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Így b = 1, azaz

# f (fr {k} {n}) = ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Ebből adódóan,

# S = lim_ {n és + tj} sum_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Oldja meg # {{}} {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

az integráció részek szerinti használata:

int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

enged # u = ln (1 + x ^ 2) és v = 1 #

Ezután használja a láncszabályt és a természetes logaritmus származékát # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = fr {2x} {1 + x ^ 2} #

és használja a hatalmi szabályt: # 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (fr {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 fr {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 fr {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Kivonási szabály használata:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 fr {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Használja az első integrál teljesítményszabályát és a második integrál a standard trigonometrikus függvény # arctan (x) # (a tangens függvény inverze)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

És így, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Most megoldja a határozott integrátort:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

tudjuk, hogy az anti-származék # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, És így

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

# S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

vegye figyelembe, hogy az arctan (1) 45 ° vagy # {{{}} (emlékeztesse a speciális háromszöget, amelynek oldalsó hossza 1,1, # Sqrt {2} # és 45 °, 45 °, 90 ° -os szögek és szintén # arctan (0) = 0 #

És így # S = ln (2) - 2 + 2 (fr {p} {4}) = ln (2) - 2 +ac {{} {2} #

vagy # 0,263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + fr {pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ {fr { {}}

# L = 2 * fr {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = fr {2 qrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Ezért a megoldás # {{{}} {{}}} {{}}} {{{}}} {{{}}} {{{}}} {{}} }} = fr {2 qrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # vagy # 1.302054638 … #