Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Meg tudja oldani ezt?

Válasz:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Magyarázat:

Nekünk van:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

enged #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Ezt látjuk #u = -1 # tényező. Szintetikus felosztást használunk

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Az egyenlet # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # lehet megoldani a kvadratikus képlet segítségével.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 vagy -0.309 #

Mivel #cosx = u #, kapunk #x = pi / 5, (3pi) / 5 # és # Pi #.

Hol # N # egész szám.

A grafikon # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # és # y_2 = cos (3x) # megerősíti, hogy a megoldások a metszéspontok.

Remélhetőleg ez segít!

Válasz:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Magyarázat:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, vagy

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Egység kör, és a cos tulajdonsága, adja meg a -> értéket

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Ha k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Ha k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Ha k = 0 -> #x = - pi / 5 #, vagy #x = (9pi) / 5 # (CO-terminális)

Ha k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

Zárt intervallumban 0, 2pi a válaszok:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Ellenőrizze számológéppel.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. Bizonyított

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Bizonyított

Válasz:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # # NrarrZ

Magyarázat:

# Rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# Rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Bármelyik #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # # NrarrZ

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # # Nrarr

Válasz:

Az általános megoldás nem igényli a hármas szög képletet, és az

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # vagy # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

egész számra # K #.

Magyarázat:

Nem szeretem más emberek válaszait, mielőtt magam is megoldanék egy kérdést. De egy kiemelt válasz erre az egyikre. Gyors pillantásom alatt nem segítem észrevenni, hogy elég bonyolultnak látszott, ami viszonylag egyszerű kérdésnek tűnik számomra. Egy lövést adok neki.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Néhány hétig a szocratáriusban voltam, és ez a téma a következő: Az általános megoldás #cos x = cos a # jelentése #x = pm a + 360 ^ circ k quad # egész számra # K. #

# 180 ^ circ - 2x = 3x + 360 ^ circ k #

# -2x 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

A jeleket elkülönítve vesszük. Először is:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Mínusz következő.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Ha ezeket szorosan olvassa, azt gondolhatja, hogy tévedek az általam manipulált módon # K #. De azóta # K # az egész egész számok, például a helyettesítések #k - -k # és #k - k + 1 # megengedettek, és beilleszem azokat, hogy megtartsam a jeleket #+# mikor lehetnek.

Jelölje be:

Válasszunk ki egy párot, hogy ellenőrizzük. Annyira tudom, hogy tudom #cos 36 ^ circ # az aranyarány felét jelenti, de nem fogom pontosan dolgozni ezeken, csak győződjön meg róla, hogy Wolfram Alpha lesz.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #