Bizonyítsuk be, hogy a lila árnyékos terület megegyezik az egyenlő oldalú háromszög (sárga csíkos kör) körével?

Válasz:

Magyarázat:

Az inkircle területe # Pir ^ 2 #.

Figyelembe véve a megfelelő háromszög hipotenusszal # R # és láb # R # az egyenlő oldalú háromszög alapja, a trigonometria vagy a tulajdonságok alapján #30 -60 -90 # jobb háromszögeket tudunk megállapítani # R = 2r #.

Ne feledje, hogy az ellenkező szög # R # jelentése #30 # az egyenlő oldalú háromszög óta #60 # a szög el volt osztva.

Ez a háromszög a Pythagorean-tételen keresztül megoldható, hogy megmutassuk, hogy az egyenlő oldalú háromszög oldalhosszának fele #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Most, hogy az egyenlő oldalú háromszög felét jobb háromszögként vizsgáljuk, a magasságot látjuk # H # az egyenlő oldalú háromszög megfogalmazása a következőképpen oldható meg: # R # használja a kapcsolatot #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Mivel #tan (60) = sqrt3 #, ez lesz # H / (rsqrt3) = sqrt3 # így # H = 3r #.

Ekkor az egyenlő oldalú háromszög területe # 1 / # 2BH, és az alapja # # 2rsqrt3 és annak magassága # # 3r. Így a területe # 1/2 (2rsqrt3) (3R) = 3r ^ 2sqrt3 #.

A kisebb árnyékolt terület területe egyenlő egyharmadával az egyenlő oldalú háromszög területével, mínusz az incircle, vagy # 1/3-a (3R ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # ami egyenértékű # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

A nagyobb kör területe # Pir ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

A nagyobb árnyékolt terület területe egyharmada a nagyobb kör területének, mínusz az egyenlő oldalú háromszög területe, vagy # 1/3-(4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # amely egyszerűsíti # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Ekkor az árnyékolt terület teljes területe # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = R ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = R ^ 2 ((3pi) / 3) = PIR ^ 2 #, ami megegyezik az incircle területével.

Válasz:

Magyarázat:

Egy egyenlő oldalú háromszög számára a súlypont, a körkörös közep és az ortocentrum egybeesik.

Tehát a cicumcircle (R) sugara és az incircle (r) sugara a következő

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Most az ábrán látható, hogy a BIG lila árnyékolt régió területe# = 1/3-(PIR ^ 2-Delta) #

És A SMALL lila árnyékolt régió területe# = 1/3-(Delta-pir ^ 2) #

hol #Delta # az egyenlő oldalú háromszög területét ábrázolja.

Így

#color (lila) ("A BIG és SMALL lila árnyékolt terület teljes területe" #

# = 1/3-(PIR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3-(PIR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

R = 2r beillesztése

# = 1/3-(PI (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3-(4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> szín (narancs) "Sárga csíkos kör területe" #