A következő egyenlet megoldása természetes számokban: x² + y² = 1997 (x-y)?

Válasz:

# (x, y) = (170, 145) # vagy # (x, y) = (1817, 145) #

Magyarázat:

A következő bizonyíték a Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu, „A diofantikus egyenletek: probléma-alapú megközelítés” című könyvében található.

Adott:

# X ^ 2 + y ^ 2 = 1997-ben (x-y) #

enged #a = (x + y) # és #b = (1997-x + y) #

Azután:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Ezért találjuk:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Mivel #1997# elsődleges, # A # és # B # nincs közös tényezője, mint a #1#.

Ezért léteznek pozitív egész számok #m, n # val vel #m> n # és nincs közös tényező nagyobb, mint #1# oly módon, hogy:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} szín (fehér) (XX) "vagy" szín (fehér) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Ránéz # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # a mod #3# és mod #5# aritmetika:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) ennélfogva #m - = + -1 # és #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) ennélfogva #m - = + -1 # és #n - = + -1 # (mod #5#)

Ez azt jelenti, hogy az egyetlen lehetőség #m, n # modulo #15# vannak #1, 4, 11, 14#.

Ezenkívül vegye figyelembe, hogy:

# m ^ 2 (1997/2, 1997) #

Ennélfogva:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Tehát az egyetlen lehetőség # M # vannak #34, 41, 44#

Találunk:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# nem tökéletes négyzet.

#1997 - 44^2 = 61# nem tökéletes négyzet.

Így # (m, n) = (34, 29) #

Így:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

vagy

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#fehér szín)()#

Ha # (a, b) = (1972, 315) # azután:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

és így:

# (x, y) = (1817, 145) #

#fehér szín)()#

Ha # (a, b) = (315, 1972) # azután:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

és így:

# (x, y) = (170, 145) #