Kérdés # ba262

Válasz:

A bizonyíték egy kicsit hosszú, de kezelhető. Lásd lentebb.

Magyarázat:

Amikor megpróbáljuk bizonyítani a frakciókat tartalmazó trigonos identitásokat, mindig jó ötlet, hogy először a frakciókat adjuk hozzá:

# Sint / (1-költség) + (1 + költség) / Sint = (2 (1 + költség)) / sint #

# -> Sint / (1-költség) Sint / Sint + (1 + költség) / Sint (1-költség) / (1-költség) = (2 (1 + költség)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-költség) (sint)) + ((1 + költség) (1-költség)) / ((1-költség) (sint)) = (2 (1 + költség)) / sint #

# -> (sin ^ 2T + (1 + költség) (1-költség)) / ((1-költség) (sint)) = (2 (1 + költség)) / sint #

A kifejezés # (1 + költség) (1-költség) # valójában az álcázott négyzetek különbsége:

# (A + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Val vel # A = 1 # és # B = költségét #. Értékeli # (1) ^ 2- (költség) ^ 2 = 1-cos ^ 2T #.

Még tovább megyünk # 1-cos ^ 2T #. Emlékezzünk az alapvető Pythagorean Identityre:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

kivonva # Cos ^ 2x # mindkét oldalról:

# Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Mivel #x# csak egy helyőrző változó, ezt mondhatjuk # Sin ^ 2T = 1-cos ^ 2T #. Ezért a # (1 + költség) (1-költség) # válik # Sin ^ 2t #:

# (Sin ^ 2T + sin ^ 2t) / ((1-költség) (sint)) = (2 (1 + költség)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-költség) (sint)) = (2 (1 + költség)) / sint #

Ne feledje, hogy a sines megszakítja:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-költség) megszünteti ((sint))) = (2 (1 + költség)) / sint #

# -> (2sint) / (1-költség) = (2 (1 + költség)) / sint #

Majdnem végeztünk. Az utolsó lépés az, hogy a bal oldalt a # 1 # költségű (ami # 1 + költség #), hogy kihasználják a négyzetek tulajdonságainak különbségét:

# (2sint) / (1-költség) (1 + költség) / (1 + költség) = (2 (1 + költség)) / sint #

# -> (2sint (1 + költség)) / ((1-költség) (1 + költség)) = (2 (1 + költség)) / sint #

Ismét láthatjuk ezt # (1-költség) (1 + költség) # a négyzetek különbsége # A = 1 # és # B = költségét #. Értékeli # (1) ^ 2- (költség) ^ 2 #, vagy # 1-cos ^ 2T #. Ezt már megmutattuk # Sin ^ 2T = 1-cos ^ 2T #, így a nevező helyére kerül:

# (2sint (1 + költség)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + költség)) / sint #

Sines megszakítja:

# (2cancel (sint) (1 + költség)) / (megszünteti (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + költség)) / sint #

És voila, bizonyíték teljes:

# (2 (1 + költség)) / Sint = (2 (1 + költség)) / sint #

Válasz:

Hadd próbáljam

Magyarázat:

# LHS = sint / (1-költség) + (1 + költség) / sint #

Az RHS vizsgálata közös# (1 + költség) / sint #

Így

# LHS = (1 + költség) / Sint (Sint / (1 + költség) * sint / (1-költség) +1) #

# = (1 + költség) / Sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + költség) / Sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + költség) / Sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + költség)) / Sint = RHS #

Bizonyított